Bild (Kategorientheorie)
In der Kategorientheorie ist ein Bild eines Morphismus f
{\displaystyle f\colon X\to Y}
ein Unterobjekt h
{\displaystyle h\colon I\to Y}
von Y
, das die folgende universelle Eigenschaft hat:
Es gibt einen Morphismus g
{\displaystyle g\colon X\to I}
mit f
{\displaystyle f=hg}
Für jedes Unterobjekt l
{\displaystyle l\colon Z\to Y}
, das obige Eigenschaft erfüllt (
{\displaystyle f=lk}
), gibt es einen eindeutigen Morphismus m
{\displaystyle m\colon I\to Z}
mit k
{\displaystyle k=mg}
und h
{\displaystyle h=lm}
Das Kobild eines Morphismus f
ist der duale Begriff: ein Kobild ist ein Quotientenobjekt g
{\displaystyle g\colon X\to C}
von X, das die folgende universelle Eigenschaft hat:
Es gibt einen Morphismus h
{\displaystyle h\colon C\to Y}
mi f
Für jedes Quotientenobjekt k
{\displaystyle k\colon X\to Z}
{\displaystyle m\colon Z\to C}
mit g
{\displaystyle g=mk}
und l
{\displaystyle l=hm}
In Kategorien mit Kern und Kokern ist jeder Kern eines Kokerns von f ein Bild von f, jeder Kokern des Kernes ein Kobild.
In abelschen Kategorien wie den Kategorien der Vektorräume oder abelschen Gruppen stimmen Bild und Kobild überein. In den genannten Kategorien sind sie auch gleich dem mengentheoretischen Bild.
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