Debye-Modell
Das Debye-Modell beschreibt eine Methode zur Berechnung des Beitrags zur Wärmekapazität eines kristallinen Festkörpers, den die quantisierten Schwingungen in Kristallgittern, die sog. Phononen, ergeben; es stellt sich u. a. heraus, dass dies in der Regel der wesentliche Beitrag ist. Die von Peter Debye 1911 und 1912 entwickelte „Theorie der spezifischen Wärme von Kristallen“ gilt überdies als eine der ersten theoretischen Bestätigungen der 1900 von Max Planck erstmals vorgestellten Quantenthese[1].
1 Grundlagen
2.1 Temperaturbereiche
2.2 Zur Begründung der angegebenen Resultate
3 Verallgemeinerung für andere Quasiteilchen
Grundlagen[Bearbeiten]
Dispersionsrelation im Vergleich mit dem Ergebnis von einfachen harmonischen Oszillatoren
Gegenüber dem Einstein-Modell (von 1906), welches unabhängige Oszillatoren mit identischer Frequenz annimmt, geht das Debye-Modell (1912) von einer Vielzahl möglicher Frequenzen und von Null verschiedener Ausbreitungsgeschwindigkeit aller Wellen bzw. Phononen aus. Jedoch wird durchgehend die Langwellennäherung vorausgesetzt, das heißt, es wird der Einfachheit halber angenommen, dass bis zu einer Grenzfrequenz, der sog. Debyefrequenz , immer strenge Proportionalität zwischen Frequenz und Wellenvektor (also eine lineare Dispersionsrelation) gilt, wobei ein longitudinaler und zwei transversale Schallwellen-Freiheitsgrade vorausgesetzt werden.
Bemerkenswert an diesem Ansatz ist, dass er (abgesehen von der Nichtexistenz longitudinaler Lichtwellen) mit den Annahmen Plancks zur Berechnung der Hohlraumstrahlung identisch ist, wenn man die Schallgeschwindigkeit durch die Lichtgeschwindigkeit ersetzt. Somit ergeben sich für einen strahlenden Hohlraum (→Plancksches Strahlungsgesetz) Formeln mit demselben Aufbau wie für einen erwärmten Festkörper, bei dem Teilchen in gitterförmiger Anordnung schwingen. In beiden Fällen folgen charakteristische „T3-Gesetze“.[2] (s. u.).
Phononen existieren aber nur bis zu einer Maximalfrequenz (im Debye-Modell also bis zu ). Diese Maximalfrequenz ergibt sich aus der Summe aller möglichen Schwingungsmoden, da deren Gesamtzahl höchstens gleich dem Dreifachen der Anzahl der schwingenden Gitterteilchen (Atome) sein kann. Daraus folgt auch, dass grundsätzlich etwas niedriger ist (, mit der unten benutzten Bezeichnung ) als die eines entsprechenden harmonischen Oszillators (siehe Bild) ohne Frequenzbegrenzung.
Ergebnisse[Bearbeiten]
Debye-Temperaturen verschiedener Materialien
in K
Blei
α-Eisen
Temperaturbereiche[Bearbeiten]
Das Modell macht korrekte Voraussagen über die Temperaturabhängigkeit der Wärmekapazität, und zwar sowohl im Niedrigtemperaturlimes als auch für den Hochtemperaturgrenzwert.
Im Niedrigtemperaturbereich, d. h. für ( ist die so