Stichprobentheorie - Testtheorie
Vorgehen in der Testtheorie
Einführung in Signifikanztests
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Testtheorie
Video: Testtheorie
In der schließenden Statistik kommt es oft vor, dass anhand einer Stichprobe entschieden werden soll, ob eine Hypothese - bezüglich einer Grundgesamtheit - realistisch ist oder nicht.
In einer Schule stellt die Direktorin folgende Behauptung (Hypothese) auf: Die Schüler wiegen im Durchschnitt 58 kg. Es werden zufällig 40 Schüler ausgewählt. Man stellt fest, dass bei ihnen das mittlere Gewicht 67 kg beträgt. Nun ist es sehr empfehlenswert, ein statistisches Testverfahren durchzuführen. Dieses kann entscheiden, ob es wahrscheinlich ist, dass die Direktorin sich mit ihrer Hypothese $\mu = 58 kg$ geirrt hat.
Zunächst sei erwähnt, dass ein solcher Test in mehreren Schritten abläuft.
Das Lambert-Kochrezept faßt alle wesentlichen Schritte zusammen.
Lambert-Kochrezept
Auswahl des Testverfahrens
Formulierung der Hypothese $H_0$ und der Alternativhypothese $H-1$
Das Signifikanzniveau $\alpha$ wird ausgewählt
Testfunktionswert wird bestimmt
Ein Verwerfungsbereich wird ausgemacht
Im Falle, dass der Testfunktionswert im Verwerfungsbereich liegt, so wird $H_0$ verworfen
Beachte
Am meisten Schwierigkeiten bereitet der erste Schritt. Folgende Übersicht hilft uns, die richtige Entscheidung zu treffen. Die erwähnten Schemata stellen wir im Anschluß vor. Anhand der Schemata können wir das entsprechende Kochrezept wählen. Auch die Kochrezepte folgen im Anschluß.
Verbundene Stichproben
Abb. 2: Arten von Stichproben
Es ist noch abzuklären, was verbundene Stichproben sind.
Verbundene Stichproben: Werden bei einer statistischen Teilgesamtheit bei den Merkmalsträgernmehrere Merkmale untersucht, so reden wir von einer verbundenen Stichprobe.
Beispiel 1:
Befragen wir auf einer Straße 100 Passanten, ob sie rauchen, so liegt bei Unabhängigkeit der einzelnen Ziehungen untereinander eine einfache Stichprobe vor
An einem Tag gehen wir wieder auf die Brechtstrasse und fragen 100 Passanten, ob sie rauchen. Zwei Wochen später befragen wir auf der Kasernenstrasse in der Nachbarstadt 40 Einwohner nach ihren Hobbies. Im Falle, dass das Rauchverhalten der Passanten keine Einwirkung auf die Hobbies der 40 Einwohner hat, liegen zwei unabhängige Stichproben vor.
Liegt nun der Fall vor, dass wir in der Brechtstrasse 100 Passanten sowohl nach nach
ihrem Rauchverhalten als auch nach ihren Hobbies befragen, so liegen zwei verbundene Stichproben vor.
Ist es nun so, dass in Beispiel drei das Rauchverhalten keinen Einfluß auf die Hobbies hat. So haben wir zwei verbundene und unabhängige Stichproben.
Betrachten wir beispielsweise die folgende Tabelle der Körpergrößen $x_{1,1},...,x_{1,12}$ einer (konkreten) Stichprobe von 12 Vätern und der Körpergrößen $x_{2,1},...,x_{2,12}$ ihrer ältesten Söhne. Sofern die Väter und Söhne aus unterschiedlichen Familien stammen, können wir annehmen, dass die Körpergrößen der Väter bzw. der Söhne untereinander unabhängig sind.
/cm
Anhand dieser Tabelle ist erkennbar (und dies stimmt mit der Intuition überein), dass sehr wahrscheinlich ein Zusammenhang zwischen den Körpergrößen der Väter $x_{1,1},...,x_{1,12}$ und den Körpergrößen ihrer ältesten Söhne $x_{2,1},...,x_{2,12}$ besteht.
In diesem Beispiel sehen wir, dass wir nicht annehmen können, dass $x_{1,1},...,x_{1,12}$ und $x_{2,1},...,x_{2,12}$ Realisierungen von zwei unabhängigen Zufallsvariablen $x_{1,1},...,x_{1,12}$ bzw. $x_{2,1},...,x_{2,12}$ sind. Hier ist es nun so, dass $x_{1,1},...,x_{1,12}$ und $x_{2,1},...,x_{2,12}$ zwei verbundene Stichproben sind.
Abb. 3: Einfache Stichproben
Abb. 4: Unabhängige Stichproben
Abb. 5: Verbundene Stichproben
Die Tests werden nun auf den folgenden Kursseiten vorgestellt.
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Bitte die Elemente in der richtigen Reihenfolge einordnen.
2Formulierung der Hypothese H0 und der Alternativhypothese H1
5ein Verwerfungsbereich wird ausgemacht
1Auswahl des Testverfahrens
6im Falle, dass der Testfunktionswert im Verwerfungsbereich liegt, wird H0 verworfen
3Auswahl des Signifikanzniveaus α
4Testfunktionswert wird bestimmt