Parallelogramm
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Bezeichnungen am Parallelogramm
Ein Parallelogramm (von griech. παραλληλό-γραμμος paralleló-grammos „von zwei Parallelenpaaren begrenzt“) oder Rhomboid (rautenähnlich) ist ein konvexes ebenes Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten parallel sind.
Parallelogramme sind spezielle Trapeze und zweidimensionale Parallelepipede. Rechteck, Raute (Rhombus) und Quadrat sind Spezialfälle des Parallelogramms.
2 Verwendung in der Technik
3 Formelsammlung
4 Verallgemeinerungen
5 Beweis der Flächenformel für ein Parallelogramm
Ein nicht ausgeartetes Viereck ist ein Parallelogramm genau dann, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:
Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und keine zwei gegenüberliegende Seiten schneiden sich (kein überschlagenes Viereck, sogenanntes Antiparallelogramm).
Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
Je zwei benachbarte Winkel ergeben zusammen 180°.
Die Diagonalen halbieren einander.
Es ist punktsymmetrisch (zweizählig drehsymmetrisch).
Für jedes Parallelogramm gilt:
Jede Diagonale teilt es in zwei (gleich orientierte) kongruente Dreiecke.
Das Zentrum der Symmetrie ist der Schnittpunkt der Diagonalen.
Der Satz von Thébault-Yaglom
Alle Parallelogramme, die mindestens eine Symmetrieachse besitzen, sind entweder Rechtecke oder Rauten.
Verwendung in der Technik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Parallelogramme finden sich häufig in der Mechanik. Durch vier Gelenke kann eine bewegliche, parallelentreue Lagerung hergestellt werden, die so genannte Parallelogrammführung. Beispiele:
Schaltparallelogramm einer Kettenschaltung
Parallel-Scheibenwischer
Hubarbeitsbühne
Pantograph Formeln zum Parallelogramm
Seitenlängen
{\displaystyle a=c,\quad b=d}
Innenwinkel
{\displaystyle \alpha =\gamma ,\quad \beta =\delta =180^{\circ }-\alpha }
Flächeninhalt
{\displaystyle A\,=\,a\cdot b\cdot \sin \alpha =a\cdot b\cdot \sin \beta ={\frac {e\cdot f\cdot \sin \theta }{2}}}
Über Transformation in Rechteck mit der Determinante:
Höhe zu a
{\displaystyle h_{a}\,=\,b\cdot \sin \alpha =b\cdot \sin \beta }
Höhe zu b
{\displaystyle h_{b}\,=\,a\cdot \sin \alpha =a\cdot \sin \beta }
Diagonalen
(Kosinussatz)
Parallelogrammgleichung
{\displaystyle e^{2}+f^{2}=2\left(a^{2}+b^{2}\right)} Eine Verallgemeinerung auf n
Dimensionen ist das Parallelotop P
, erklärt als die Menge {
{\displaystyle \{\alpha _{1}p_{1}+\alpha _{2}p_{2}\dots \alpha _{n}p_{n}\mid 0\leq \alpha _{i}\leq 1\}}
sowie deren Parallelverschiebungen. Dabei sind die p
linear unabhängige Vektoren.
Beweis der Flächenformel für ein Parallelogramm[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Vom großen Rechteck werden sechs Teilflächen abgezogen
Die Fläche F
des nebenstehenden schwarzen Parallelogramms kann man erhalten, indem man von der Fläche des großen Rechtecks die sechs kleinen Flächen mit bunten Kanten abzieht. Wegen der Symmetrie und der Vertauschbarkeit der Multiplikation kann man auch vom großen Rechteck das Doppelte der drei kleinen Flächen unterhalb des Parallelogramms abziehen. Es ist also: F
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Wiktionary: Parallelogramm – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Wiktionary: Rhomboid – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
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