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Zahlen OHNE Ziffern Lineare Algebra » Eigenwerte » Ähnlichkeit zweier Matrizen
Ähnlichkeit zweier Matrizen
Themenstart: 2019-09-12
Ich bin mir bei der folgenden Aufgabe nicht sicher, ob ich den richtigen Denkansatz verfolge, vielleicht könnt Ihr mir ja helfen:
Gegeben seien zwei Matrizen \(A,B \in\mathbb{R}^{4\times 4}\) mit \(
A=\left(
0 & 1 & 2&4 \\
-1 & 0 &3&1 \\
0 & 0 &0 &1\\
0&0&-1&0
\end{array}
\right)\) und \(
B=\left(
-3 & 0 & 1&3 \\
-3 & -2 &0 &4\\
-3&1&1&2
\right)\)
Zeigen Sie das A,B über \(\mathbb{R}\) ähnlich sind.
Normalerweise würde ich hier zusehen, dass ich diese Gleichung \(T*A*T^{-1}=D=S*B*S^{-1}\) lösen kann indem ich mir das entsprechende S und T aus den Eigenvektoren der Matrizen ziehe und mit D die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten als Einträge auf der Hauptdiagonalen bekomme. Allerdings liegen die Eigenwerte hier nicht in \(\mathbb{R}\) sondern in \(\mathbb{C}\)(mit Eigenwerten i,-i).
Reicht es daher zu zeigen, dass sie das gleiche charakteristische Polynom haben und die gleichen Eigenwerte?
Mein nächster Gedanke war es zu zeigen, dass sie über \(\mathbb{C}\) die gleiche Jordannormalform haben, doch ich weiß nicht ob das hier zulässig ist, da ja explizit die Ähnlichkeit über \(\mathbb{R}\) gefordert ist...
Ich hoffe Ihr könnt da Licht ins Dunkle bringen! ^^'
Ex_Senior
Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-12
Das ist ein guter Gedanke. Da die Matrizen reell sind, sind die Jordankästchen für $\lambda$ und $\overline \lambda$ gleich (bis auf Konjugation). Diese lassen sich dann zu einer "reellen Jordannormalform" zusammenfassen. Wie diese aufgebaut ist, habe ich im Moment nicht parat, dürfte aber bei Wikipedia zu finden sein.
Das reicht im allgemeinen nicht aus, da du aus dem char. Polynom & Minimalpolynom(!) nur die größten Jordankästchen ableiten kannst.
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-12
2019-09-12 12:47 - TomTom314 in Beitrag No. 1 schreibt:
Oh vielen Dank! Dann hab ich jetzt also meine komplexe JNF:
\( JNF=\left(
i & 1 & 0&0 \\
0 & i & 0 &0&\\
0&0&0&i
\right)\) die kann ich jetzt in eine Reelle umwandeln.Nun kommt aber eine Frage auf (die ich so leider noch nicht beantwortet gefunden habe): Meine Eigenwerte sind i und -i jeweils mit doppelter algebraischer Vielfachheit, da zu jedem \(\lambda\) auch ein \(\overline\lambda\) existiert heißt dass, ich habe zum Schluss eine 8x8-Matrix mit 4-mal i und 4-mal -i? Oder muss ich das hier nicht machen da sich Jeweils zwei i und -i als Nullstellen ergeben haben?
Ich schwanke also gerade zwischen
\(J_1= \left(
0 & -1 & 1&0 \\
1 &0 & 0&1 \\
\right)\) und \(J_2= \left(
0 & -1 & 1&0&0&0&0&0 \\
1 &0 & 0&1&0&0&0&0 \\
0 & 0 & 0&-1&1&0&0&0 \\
0&0&1&0&0 & 1 &0&0 \\
0& 0 & 0&0&0&-1&1&0 \\
0 &0 &0&0&1&0&0&1 \\
0&0&0&0&0&0 &0 & -1 \\
\right)\).
(Ich hoffe ich habe mich bei den ganzen 0-len nicht vertan)
Vergiss das $J_2$. Bei ähnlichen Matrizen kann sich die Größe nicht ändern.
Eine andere Idee wäre: Mit Koeffizienten in $\IC$ erhalten wir $TAT^{-1}=JNF = SBS^{-1}$ und damit $A=T^{-1}SBS^{-1}T$. Wenn wir nun zeigen könnten, dass $T^{-1}S$ reell gewählt werden kann, brauchen wir keinen Umweg über die reelle JNF. Dazu lohnt sich ggf. eine Darstellung $T^{-1}S=U+iV$ in Real- und Imaginärteil zu betrachten.
T und S zu finden habe ich in einem früheren Versuch für die JNF bereits versucht, wenn ich da keine Fehler gemacht habe komme ich leider auch nur auf komplexe Matrizen....
Und bei \(T^{-1}*S\) komme ich auch auf etwas komplexes... Was mache ich denn wenn ich das dann in Real- und Imaginärteil aufdrösele lasse ich dann iV einfach wegfallen?
Ich muß zugegeben, dass ich es nicht vollständig durchdacht habe. Aus $AT^{-1}S=T^{-1}SB$ folgt $A(U+iV)=(U+iV)B$ und durch vergleich von Real-/Imaginärteil die beiden Gleichungen $AU=UB$ und $AV=VB$. Das wesentlichen Problem ist, dass $U,V$ nicht zwingend invertierbar sind. Falls $U,V$ sich nur um einen reellen Faktor unterscheiden, dann schon und Du hättest eine Ähnlichkeitsmatrix.
Ok vielen Dank! ^^
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