Die folgenden Aussagen gelten für alle reellen Zahlen \(a\), \(a_1\) und \(a_2\):
\(f_a(0) = 0\)
\(f'_a(0) = f'_0(0)\)
\(f_{a_1}(x) = f_{a_2}(x) \enspace \Leftrightarrow \enspace a_1 = a_2\) oder \(x =0\)
Geben Sie an, was sich aus diesen Aussagen hinsichtlich des Verlaufs der Graphen der Schar folgern lässt.
Bedeutung der Aussage \(f_a(0) = 0; \; a \in \mathbb R\)
Alle Graphen der Funktionenschar \(f_{\textcolor{#cc071e}{a}}\) verlaufen durch den Koordinatenursprung \(\boldsymbol{(0|0)}\).
Bedeutung der Aussage \(f'_a(0) = f'_0(0); \; a \in \mathbb R\)
Alle Graphen der Funktionenschar \(f_{\textcolor{#cc071e}{a}}\) haben im Koordinatenursprung \(\boldsymbol{(0|0)}\) die gleiche Steigung (oder die Steigung \(\boldsymbol{\sqrt{e}}\)).
Begründung (nicht verlangt)
Aus dem Ergebnis von Teilaufgabe 2b ist bekannt, dass der Graph der Scharfunktion \(f_0\) eine Ursprungsgerade mit der Steigung \(\sqrt{e}\) ist. Der Term \(f'_0(0)\) beschreibt diese Steigung.
Der Term \(f'_\textcolor{#cc071e}{a}(0)\) beschreibt unabhängig von der Belegung des Parameters \(a\) die Steigung aller Graphen (Tangentensteigung) der Funktionenschar \(f_\textcolor{#cc071e}{a}\) im Koordinatenursprung.
Bedeutung der Aussage \(f_{a_1}(x) = f_{a_2}(x) \enspace \Leftrightarrow \enspace a_1 = a_2\) \((a_1,a_2 \in \mathbb R)\) oder \(x =0\)
Neben dem Koordinatenursprung \((0|0)\) gibt es keinen weiteren gemeinsamen Punkt der Graphen der Funktionenschar \(f_a\).
Die Gleichung \(f_{a_1}(x) = f_{a_2}(x)\) formuliert den Ansatz für die Bestimmung der Stelle(n) gemeinsamer Punkte zweier Scharfunktionen \(f_{a_1}\) und \(f_{a_2}\) der Funktionenschar \(f_a\).
Die Äquivalenzbeziehung \(f_{a_1}(x) = f_{a_2}(x) \enspace \Leftrightarrow \enspace a_1 = a_2\) sagt aus, dass nur die Graphen zweier identischer Scharfunktionen \(f_{a_1}\) und \(f_{a_2}\) mit \(a_1 = a_2\) gemeinsame Punkte haben.
Die Formulierung „oder \(x = 0\)" bezieht sich auf die Aussage \(f_a(0) = 0\) (vgl. oben).
Graphen einer Funktionenschar
Gemeinsame Punkte einer Kurvenschar
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