Legendre-Polynom
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Die Legendre-Polynome (nach Adrien-Marie Legendre), auch zonale Kugelfunktionen genannt, sind spezielle Polynome, die auf dem Intervall ein orthogonales Funktionensystem bilden. Sie sind die partikulären Lösungen der legendreschen Differentialgleichung. Eine wichtige Rolle spielen die Legendre-Polynome in der theoretischen Physik, insbesondere in der Elektrodynamik und in der Quantenmechanik und im Bereich der Filtertechnik bei den Legendre-Filtern.
1 Herkunft
1.1 Konstruktion orthogonaler Polynome
1.2 Legendresche Differentialgleichung
2 Legendre-Polynome
2.1 Monomdarstellung
2.2 Rodrigues-Formel
2.3 Integraldarstellung
2.4 Rekursionsformeln
3.1 Vollständiges Orthogonalsystem
3.2 Nullstellen
3.3 Allgemeine Eigenschaften
3.4 Erzeugende Funktion
4 Legendre-Funktionen 2. Art
Konstruktion orthogonaler Polynome[Bearbeiten]
Für ein Intervall und eine darauf gegebene Gewichtsfunktion ist eine Folge von reellen Polynomen orthogonal, wenn sie die Orthogonalitätsbedingung
für alle mit erfüllt.
Für das Intervall zusammen mit der einfachsten aller Gewichtsfunktionen können solche orthogonalen Polynome mit Hilfe des Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren ausgehend von den Monomen iterativ erzeugt werden. Die Legendre-Polynome ergeben sich, wenn dabei zusätzlich gefordert wird.
Legendresche Differentialgleichung[Bearbeiten]
Die Legendre-Polynome sind Lösungen der legendreschen Differentialgleichung
welche auch in der Form
geschrieben werden kann. Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung lautet
mit den beiden linear unabhängigen Funktionen und . Man bezeichnet die Legendre-Polynome daher auch als Legendre-Funktionen 1. Art und als Legendre-Funktionen 2. Art, denn diese sind keine Polynome mehr.
Darüber hinaus existiert noch eine verallgemeinerte Legendresche Differentialgleichung, deren Lösungen zugeordnete Legendrepolynome heißen.
Das -te Legendre-Polynom hat den Grad und ist aus , d. h., es hat rationale Koeffizienten. Für die Legendre-Polynome gibt es mehrere Darstellungsformen.
Monomdarstellung[Bearbeiten]