Arkussinus und Arkuskosinus
Arkussinus und Arkus­kosinus im kartesi­schen Koordinaten­system
﻿arcsin (x)
﻿arccos (x)
Der Arkussinus – geschrieben oder – und der Arkuskosinus (oder auch Arkuscosinus) – geschrieben oder – sind Umkehrfunktionen der (geeignet) eingeschränkten Sinus- bzw. Kosinusfunktion: Da Sinus und Kosinus periodische Funktionen sind, wird zu ihrer Umkehrung der Definitionsbereich des Sinus auf das Intervall und der des Kosinus auf das Intervall eingeschränkt. Sinus bzw. Kosinus sind auf diesen Intervallen streng monoton.
Zusammen mit dem Arkustangens als Umkehrfunktion des (natürlich ebenfalls geeignet eingeschränkten) Tangens bilden der Arkussinus und Arkuskosinus den Kern der Klasse der Arkusfunktionen. Aufgrund der in neuerer Zeit für Umkehrfunktionen gebräuchlichen Schreibweise beginnen die namentlich auf Taschenrechnern verbreiteten Schreibweisen und die klassische Schreibweise bzw. zu verdrängen, was eventuell zu Verwechslungen mit den Kehrwerten des Sinus und Kosinus (Kosekans und Sekans) führen kann.[1]
1 Definitionen
2 Eigenschaften
3 Formeln für negative Argumente
4 Reihenentwicklungen
5 Integraldarstellungen
6 Verkettungen mit Sinus und Kosinus
7 Beziehung zum Arkustangens
8 Ableitungen
9 Integrale
10 Komplexe Argumente
11 Anmerkungen
11.1 Besondere Werte
11.2 Kettenbruchdarstellung des Arkussinus
11.3 Sonstiges
12 Siehe auch Die Sinusfunktion ist -periodisch und innerhalb einer Periode nicht injektiv. Daher muss ihr Definitionsbereich geeignet eingeschränkt werden, um eine umkehrbar-eindeutige Funktion zu erhalten. Da es für diese Einschränkung mehrere Möglichkeiten gibt, spricht man von Zweigen des Arkussinus. Meist wird der Hauptzweig (oder Hauptwert)
die Umkehrfunktion der Einschränkung der Sinusfunktion auf das Intervall betrachtet.
Analog zum Arkussinus wird der Hauptzweig des Arkuskosinus als die Umkehrfunktion von definiert. Dies ergibt mit
ebenfalls eine bijektive Funktion. Mittels
lassen sich diese beiden Funktionen ineinander umrechnen. Arkussinus
Arkuskosinus
Funktions-
Definitionsbereich
Wertebereich
Monotonie
streng monoton steigend
streng monoton fallend
Symmetrien
Ungerade Funktion: Punktsymmetrie zu Asymptoten
für für Nullstellen
Sprungstellen
Polstellen
Extrema
Wendepunkte
Formeln für negative Argumente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Aufgrund der Symmetrieeigenschaften gilt:
Reihenentwicklungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Taylorreihe des Arkussinus erhält man durch Anwenden der binomischen Reihe auf die Ableitung, sie ist gegeben durch:
Der Ausdruck bezeichnet dabei die Doppelfakultät.
Die Taylorreihe des Arkuskosinus ist aufgrund der Beziehung :
Beide Reihen haben den Konvergenzradius 1. Die Integraldarstellungen des Arkussinus bzw. Arkuskosinus sind gegeben durch:
Verkettungen mit Sinus und Kosinus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Für die Arkusfunktionen gelten unter anderem folgende Formeln:
, denn für gilt und .
Beziehung zum Arkustangens[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Von besonderer Bedeutung in älteren Programmiersprachen ohne implementierte Arkussinus- und Arkuskosinusfunktion sind folgende Beziehungen, die es ermöglichen, den Arkussinus und Arkuskosinus aus dem vielleicht implementierten Arkustangens zu berechnen. Aufgrund obiger Formeln gilt
für Definiert man so werden diese beiden Gleichungen auch für richtig. Alternativ dazu kann man auch
verwenden, was sich aus Obigem durch Anwenden der Funktionalgleichung des Arcustangens ergibt und für gilt. Für lässt sich Letzteres auch zu
vereinfachen. Umrechnung
Integrale[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Komplexe Argumente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
mit Zur Funktion arcosh siehe Areakosinus Hyperbolicus, für die Signumfunktion gilt Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Besondere Werte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Kettenbruchdarstellung des Arkussinus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
H. S. Wall fand 1948 für den Arkussinus folgende Darstellung als Kettenbruch:
Man kann Arkussinus und Arkuskosinus auch durch den Hauptzweig des komplexen Logarithmus ausdrücken:
Formelsammlung Trigonometrie
Trigonometrische Funktionen
Ilja Bronstein, Konstantin Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. B.G. Teubner, Stuttgart 1991. ISBN 3-87144-492-8
↑ Eric Weisstein: Inverse Trigonometric Functions. In: MathWorld (englisch).
Trigonometrische Funktion
Primäre trigonometrische Funktionen Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus | Areatangens Hyperbolicus und Areakotangens Hyperbolicus | Areasekans Hyperbolicus und Areakosekans Hyperbolicus Abgerufen von „https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Arkussinus_und_Arkuskosinus&oldid=153268625“	Kategorie: Trigonometrische Funktion	Navigationsmenü
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