Sexagesimalsystem
Das Sexagesimalsystem (oder Hexagesimalsystem) ist ein Stellenwertsystem zum Wert 60 (lat. sexagesimus – der sechzigste).
1 Herkunft
2 Ein- und zweihändiges Zählen mit Fingergliedern und Fingern
3 Sumerer
4 Das Sexagesimalsystem in der babylonischen Verwendung
4.1 Die Zahlzeichen
4.2 Die Rechentechnik
4.2.1 Addieren und Subtrahieren
4.2.2 Multiplizieren
4.2.3 Dividieren
4.2.4 Wurzelberechnung
5 Heutige Verwendung
6 Weitere Informationen
Erstmalige Nachweise eines schriftlichen sexagesimalen Rechensystems, das jedoch noch ein Additionssystem war, reichen in die Zeit der Sumerer um 3300 v. Chr. zurück. Im weiteren Verlauf wurde in der babylonischen Mathematik ab ca. 2000 v. Chr. ein sexagesimales Stellenwertsystem verwendet. Die Hauptquellen zur Mathematik stammen aus der Zeit 1900 v. Chr. bis 1600 v. Chr., die ältesten Tabellentexte sind jedoch noch aus neusumerischer Zeit. Die nachalexandrinische Zeit zeigt unter den Seleukiden zunehmend griechische Einflüsse, die eine Synergie mit den babylonischen Kenntnissen eingingen, um später die gesammelten Erfahrungen der Sumerer, Akkader, Assyrer und Babylonier vollends nach Griechenland zu exportieren. Arabische Astronomen benutzten in ihren Sternenkarten und -tabellen die Schreibweise des berühmten griechischen Astronomen Ptolemäus, die auf sexagesimalen Brüchen basierte. Auch frühe europäische Mathematiker wie Fibonacci benutzten solche Brüche, wenn sie nicht mit ganzen Zahlen operieren konnten.
Ein Motiv für die Einführung eines Sexagesimalsystems sehen viele Historiker in der Astronomie, da die babylonischen Jahre zwölf Monate zu 30 Tagen umfassten, es gab aber auch etwa alle drei Jahre einen zusätzlichen 13. Schaltmonat.[1] Weitere Hinweise finden sich in der frühen Zählung der Mondmonate, die bis in das Jahr 35.000 v. Chr. nachgewiesen werden können (Kalender-Stöckchen). In der Republik Tschechien wurde der Speichenknochen eines jungen Wolfes von etwa 30.000 v. Chr. entdeckt, der eine Reihe von insgesamt 55 Einkerbungen aufweist, wobei die 9., die 30. und die 31. Kerbe von oben rund doppelt so lang sind wie die anderen Kerben.[2] Weil die mittlere Periode der Mondphasen 29,53 Tage beträgt, könnten die Markierungen mit den Mondphasen in Verbindung stehen.
Andere Wissenschaftler sehen als Grund für die Wahl der Zahl 60 als Basis des Rechensystems die Absicht, möglichst viele der beim praktischen Zählen und Messen (Handel) auftretenden Teile einfach ausdrücken bzw. berechnen zu können.[3]
Ein- und zweihändiges Zählen mit Fingergliedern und Fingern[Bearbeiten]
Im gewohnten Dezimalsystem (Zehner-System) zählt man mit den zehn Fingern (zwei mal fünf) beider Hände. In einigen Gegenden der Welt existierte aber ein Zählen mit Hilfe der Fingerglieder, das einhändig zur Zahl zwölf (duodezimal), zweihändig aber zur Zahl 60 führte.[4]
Einhändiges Zählen bis 12
Gezählt wird mit dem Daumen als Zeiger und den Fingergliedern der gleichen Hand als Zählobjekt.
Das einhändige Zählen beginnt, indem man für das erste Objekt mit dem Daumen die Spitze, also das obere Fingerglied, des kleinen Fingers der gleichen Hand berührt.
Für das zweite Objekt wird mit dem Daumen das mittlere Fingerglied des kleinen Fingers berührt; so zählt man mit dem Daumen glied- und fingerweise weiter.
Drei → unteres Glied des kleinen Fingers
Vier → oberes Glied des Ringfingers
Fünf → mittleres Glied des Ringfingers
Sechs → unteres Glied des Ringfingers
Sieben → oberes Glied des Mittelfingers
Acht → mittleres Glied des Mittelfingers
Neun → unteres Glied des Mittelfingers
Zehn → oberes Glied des Zeigefingers
Elf → mittleres Glied des Zeigefingers
Zwölf → unteres Glied des Zeigefingers
Zweihändiges Zählen bis 60
Nachdem mit Hilfe des Daumens als Zeiger mit den jeweils drei Fingergliedern der restlichen vier Finger der gleichen Hand (4 × 3 = 12) das erste Dutzend abgezählt ist, ist die Zählkapazität einer Hand zunächst erschöpft.
Die andere Hand ist zur Faust geballt. Um sich zu merken, dass ein Dutzend gezählt wurde, streckt man nun einen Finger, z. B. den Daumen aus.
Nun zählt man weiter, indem man mit der ersten Hand wieder bei eins beginnt. Bei zwölf angekommen, ist das zweite Dutzend voll.
Um sich zu merken, dass zwei Dutzend gezählt wurden, streckt man nun den nächsten Finger der anderen Hand, z. B. nach dem Daumen den Zeigefinger aus.
Mit den fünf Fingern der linken Hand kann man so fünfmal ein Dutzend abzählen, also 5 × 12 = 60.
Nun kann man noch einmal mit der ersten Hand das nächste Dutzend zählen, also mit zwei Händen bis 72 zählen (12 an der ersten plus gemerkte 60 an der anderen Hand).
Dieses Fingerzählsystem existiert noch in Teilen der Türkei, des Irak, in Indien und Indochina.
Es kann auch bis 12 × 12 = 144 (ein Gros) gezählt werden, indem mit der zweiten Hand ebenfalls das Zählen mit Fingergliedern betrieben wird.
Beim Zählen einer größeren Menge kann auf ein Hilfsmittel zurückgegriffen werden, etwa Stöcke, Steine, Striche oder die zehn Finger eines Helfers. Jeweils fünf Dutzend, also 60, werden mit einem der Hilfsmittel gemerkt. Mit den zehn Fingern eines menschlichen Helfers kann bis 10 × 60 = 600 gezählt werden, mit den anderen Hilfsmitteln auch noch weiter.
Sumerer[Bearbeiten]
Bei den Sumerern[5] trug die 60 den Namen gesch.
120: gesch-min (60 × 2)
180: gesch-esch (60 × 3)
240: gesch-limmu (60 × 4)
300: gesch-iá (60 × 5)
360: gesch-asch (60 × 6)
420: gesch-imin (60 × 7)
480: gesch-ussu (60 × 8)
540: gesch-ilummu (60 × 9)
600: gesch-u (60 × 10)
Nun zählten die Sumerer nicht in 60er-Schritten (gesch-Schritten) weiter, sondern im 600er-Schritten (gesch-u-Schritten), und zwar sechsmal 600, also bis 3600, das schàr genannt wurde.
Die 3600 wurden dann wieder zehnmal gesteigert bis schàr-u (3600 × 10) 36.000.
Die 36.000 wurden sechsmal gezählt bis 216.000 schàr-gal, wörtlich das große 3600 (also 60 × 60 × 60).
Die 216.000 wurde zehn mal gezählt bis 2.160.000 schàr-gal-u (=(60 × 60 × 60) x 10)
Da schàr-gal-u wurde zunächst fünfmal vervielfacht. Die sechste Vielfache 12.960.000, also 60 × 60 × 60 × 60, erhielt wieder einen eigenen Namen, und zwar schàr-gal-shu-nu-tag (dem großen schàr übergeordnete Einheit).
Die Zahlen 10 bis 60 haben eine dezimale (30 = uschu = esch-u = 3 × 10), und teilweise sogar vigesimale Struktur (40 = nischmin = nisch-min = 2 x 20).[6]
Das Sexagesimalsystem in der babylonischen Verwendung[Bearbeiten]
Die Sumerer verwendeten vor den keilschriftlichen Zeichen für die Zahlen 1 und 60 jeweils unterschiedlich große Halbellipsen und für die Zahlen 10 und 3600 = 60² jeweils unterschiedlich große Kreise, die mit zylinderförmigen Griffeln in Tontafeln gedrückt wurden. Aus diesen Zeichen wurden noch die Zeichen für 600 = 10·60 und 36000 = 10·60² entsprechend kombiniert. Daneben gab es auch noch ein anderes System mit eine