Nuklearer Raum
Unter einem nuklearen Raum versteht man in der Mathematik eine spezielle Klasse lokalkonvexer Vektorräume. Viele in den Anwendungen wichtige Räume, z. B. Räume differenzierbarer Funktionen, sind nuklear. Während normierte Räume, insbesondere Banachräume oder Hilberträume, Verallgemeinerungen endlichdimensionaler Vektorräume über ( oder ) unter Beibehaltung der Norm aber unter Verlust von Kompaktheitseigenschaften darstellen, liegt der Schwerpunkt bei den nuklearen Räumen, die im unendlichdimensionalen Fall nicht normierbar sind, auf den Kompaktheitseigenschaften. Ferner erweisen sich unbedingte Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen in nuklearen Räumen als äquivalent. In diesem Sinne sind die nuklearen Räume näher an den endlichdimensionalen Räumen als die Banachräume.
Die auf Alexander Grothendieck zurückgehenden nuklearen Räume lassen sich auf vielfältige Weise einführen. Als Definition wird hier die am einfachsten formulierbare Variante gewählt, anschließend folgt eine Liste äquivalenter Charakterisierungen, die gleichzeitig eine Reihe wichtiger Eigenschaften nuklearer Räume darstellen. Es folgen Beispiele und weitere Eigenschaften.
2 Charakterisierungen
2.1 Kanonische Abbildungen
2.2 Hilberträume
2.3 Tensorprodukte
2.4 Bilinearformen
2.5 Summierbarkeit
2.6 Satz von Kōmura-Kōmura
3.1 Normierte Räume
3.2 Schnell fallende Folgen
3.3 Differenzierbare Funktionen
3.4 Testfunktionen
3.5 Schnell fallende Funktionen
3.6 Holomorphe Funktionen
4 Permanenzeigenschaften
Ein lokalkonvexer Raum (immer als Hausdorffraum angenommen) heißt nuklear, wenn für jeden Banachraum jeder stetige lineare Operator ein nuklearer Operator ist.
Charakterisierungen[Bearbeiten]
Kanonische Abbildungen[Bearbeiten]
Ist eine stetige Halbnorm auf dem lokalkonvexen Raum , so ist ein abgeschlossener Untervektorraum von und durch wird eine Norm auf dem Faktorraum erklärt. Die Vervollständigung dieses normierten Raums wird mit bezeichnet. Ist eine weitere stetige Halbnorm mit , so definiert einen stetigen linearen Operator , der sich stetig zu einem linearen Operator fortsetzen lässt. Die heißen die lokalen Banachräume und die Operatoren heißen kanonische Abbildungen von .
Mit diesen Begriffen gelingt eine innere Charakterisierung nuklearer Räume, das heißt ohne Bezugnahme auf andere Räume: