Symmetrie/Drehungen am n-Eck/Gruppe bekannt/Beispiel
Wir betrachten den Einheitskreis
S 1 = { ( x , y ) ∈ R 2 ∣ x 2 + y 2 = 1 } . {\displaystyle {}S^{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,.}
Dieser wird bekanntlich durch die trigonometrischen Funktionen parametrisiert. Diese ordnen einem Winkel α ∈ [ 0 , 2 π ) {\displaystyle {}\alpha \in [0,2\pi )} (bezüglich der x {\displaystyle {}x} -Achse, gegen den Uhrzeigersinn) den zugehörigen Punkt
( cos ⁡ α , sin ⁡ α ) {\displaystyle (\cos \alpha ,\sin \alpha )}
auf dem Kreisbogen zu. Eine gleichmäßige Unterteilung des Intervalls [ 0 , 2 π ] {\displaystyle {}[0,2\pi ]} in n {\displaystyle {}n} gleichgroße Stücke, die durch die Grenzen
0 , 2 π n , 2 2 π n , 3 2 π n , … , ( n − 1 ) 2 π n , n 2 π n = 2 π {\displaystyle 0,\,{\frac {2\pi }{n}},\,2{\frac {2\pi }{n}},\,3{\frac {2\pi }{n}},\ldots ,(n-1){\frac {2\pi }{n}},\,n{\frac {2\pi }{n}}=2\pi }
gegeben sind, führt zu einer gleichmäßigen Unterteilung des Kreises mit den Eckpunkten
( 1 , 0 ) , ( cos ⁡ 2 π n , sin ⁡ 2 π n ) , ( cos ⁡ 2 2 π n , sin ⁡ 2 2 π n ) , ( cos ⁡ 3 2 π n , sin ⁡ 3 2 π n ) , … , ( cos ⁡ ( n − 1 ) 2 π n , sin ⁡ ( n − 1 ) 2 π n ) . {\displaystyle (1,0),\,\left(\cos {\frac {2\pi }{n}},\,\sin {\frac {2\pi }{n}}\right),\,\left(\cos 2{\frac {2\pi }{n}},\,\sin 2{\frac {2\pi }{n}}\right),\,\left(\cos 3{\frac {2\pi }{n}},\,\sin 3{\frac {2\pi }{n}}\right),\ldots ,\left(\cos(n-1){\frac {2\pi }{n}},\,\sin(n-1){\frac {2\pi }{n}}\right).}
Diese Punkte sind die Eckpunkte eines regelmäßigen n {\displaystyle {}n} -Ecks. Das regelmäßige „Zweieck“ besitzt die Ecken ( 1 , 0 ) {\displaystyle (1,0)} und ( − 1 , 0 ) {\displaystyle (-1,0)} , das regelmäßige (gleichseitige) Dreieck besitzt die Ecken
( 1 , 0 ) , ( − 1 2 , 3 2 ) , ( − 1 2 , − 3 2 ) , {\displaystyle \left(1,\,0\right),\,\left(-{\frac {1}{2}},\,{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right),\,\left(-{\frac {1}{2}},\,-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right),}
das regelmäßige Viereck (Quadrat) besitzt die Ecken
( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( − 1 , 0 ) , ( 0 , − 1 ) , {\displaystyle (1,0),\,(0,1),\,(-1,0),\,(0,-1),}
usw. Wir fassen ein solches reguläres n {\displaystyle {}n} -Eck als ein in sich starres Gebilde auf und interessieren uns dafür, wie man es in sich selbst überführen kann. Der Nullpunkt ist der Mittelpunkt (Schwerpunkt) des n {\displaystyle {}n} -Eckes, und bleibt bei einer Bewegung des n {\displaystyle {}n} -Eckes auf sich selbst unverändert. Da eine solche Bewegung die Längen nicht ändert, muss der Punkt ( 1 , 0 ) {\displaystyle {}(1,0)} auf einen der Eckpunkte abgebildet werden, da nur diese Punkte des n {\displaystyle {}n} -Eckes vom Nullpunkt den Abstand eins besitzen. Da eine Bewegung auch die Winkel nicht verändert, muss der Nachbarpunkt ( sin ⁡ 2 π n , cos ⁡ 2 π n ) {\displaystyle {}\left(\sin {\frac {2\pi }{n}},\,\cos {\frac {2\pi }{n}}\right)} auf einen Nachbarpunkt des Bildpunktes von ( 1 , 0 ) {\displaystyle {}(1,0)} abgebildet werden. Bei einer eigentlichen (physikalisch in der Ebene!) durchführbaren Bewegung bleibt auch die Reihenfolge (die „Orientierung“) der Ecken erhalten, so dass die einzigen eigentlichen Bewegungen eines regulären n {\displaystyle {}n} -Eckes die Drehungen um ein Vielfaches von 2 π / n {\displaystyle {}2\pi /n} sind.
Wenn man auch noch uneigentliche Bewegungen zulässt, so gibt es noch die Spiegelungen an einer Achse, und zwar geht bei n {\displaystyle {}n} gerade die Achse durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte oder zwei gegenüberliegende Seitenmittelpunkte, und bei n {\displaystyle {}n} ungerade durch einen Eckpunkt und einen gegenüberliegenden Seitenmittelpunkt.
Sei n {\displaystyle {}n} fixiert, und setze α = 2 π / n {\displaystyle {}\alpha =2\pi /n} und sei φ {\displaystyle {}\varphi } die Drehung des n {\displaystyle {}n} -Eckes um α {\displaystyle {}\alpha } gegen den Uhrzeigersinn. Dann kann man jede Drehung am n {\displaystyle {}n} -Eck schreiben als φ k {\displaystyle {}\varphi ^{k}} mit einem eindeutig bestimmten k {\displaystyle {}k} zwischen 0 {\displaystyle {}0} und n − 1 {\displaystyle {}n-1} . Dabei ist φ 0 = Id {\displaystyle {}\varphi ^{0}=\operatorname {Id} } die Nulldrehung (die identische Bewegung), bei der nichts bewegt wird. Wenn man φ {\displaystyle {}\varphi } n {\displaystyle {}n} -mal ausführt, so hat man physikalisch gesehen eine volle Umdrehung durchgeführt. Vom Ergebnis her stimmt das aber mit der Nulldrehung überein. Allgemeiner gilt, dass wenn man φ {\displaystyle {}\varphi } m {\displaystyle {}m} -mal ausführt, dass dann das Endergebnis (also die effektive Bewegung) nur vom Rest m mod n {\displaystyle {}m\mod n} abhängt. Die inverse Bewegung zu φ k {\displaystyle {}\varphi ^{k}} ist φ − k {\displaystyle {}\varphi ^{-k}} , also k {\displaystyle {}k} -mal wieder zurück, oder gleichbedeutend φ ( n − k ) {\displaystyle {}\varphi ^{(n-k)}} . Alle Drehungen an einem regelmäßigen n {\displaystyle {}n} -Eck bilden eine zyklische Gruppe der Ordnung n {\displaystyle {}n} .
Regelmäßiges n-Eck (MSW)
Gleichseitig (MSW)
Rest (MSW)
Theorie der endlichen zyklischen Gruppen/Beispiele
Theorie der regulären n-Ecke/Beispiele
Theorie der ebenen Drehungen/Beispiele