Kugel
Dieser Artikel behandelt die geometrische Kugel. Für weitere Bedeutungen siehe Kugel (Begriffsklärung).
Bild einer Kugel mit Längen- und Breitenkreisen
Eine Kugel ist in der Geometrie die Kurzbezeichnung für Kugelfläche und Kugelkörper.
1 Kugelfläche und Kugelkörper
2 Kugelschnitte
3 Formeln
3.1 Volumen
3.1.1 Kegelherleitung (archimedische Herleitung)
3.1.2 Alternative Herleitung
3.1.3 Herleitung mit Hilfe der Integralrechnung
3.1.4 Weitere Herleitungen
3.2 Oberfläche
3.2.1 Begründung
3.2.2 Alternative Herleitung mit Hilfe des Kugelvolumens
3.2.3 Alternative Herleitung mit Hilfe des Kugelvolumens und der Differentialrechnung
3.2.5 Herleitung mit Hilfe der Integralrechnung in Kugelkoordinaten
5 Verallgemeinerung
5.1 Höherdimensionale euklidische Räume
5.2 Metrische Räume
Kugelfläche und Kugelkörper[Bearbeiten]
Die Kugelfläche ist die bei der Drehung einer Kreislinie um einen Kreisdurchmesser entstehende Fläche. Sie ist eine Rotationsfläche sowie eine spezielle Fläche zweiter Ordnung und wird beschrieben als die Menge (der geometrische Ort) aller Punkte im dreidimensionalen euklidischen Raum, deren Abstand von einem festen Punkt des Raumes gleich einer gegebenen positiven reellen Zahl ist. Der feste Punkt wird als Mittelpunkt oder Zentrum der Kugel bezeichnet, die Zahl als Radius der Kugel.
Die Kugelfläche teilt den Raum in zwei getrennte offene Untermengen, von denen genau eine konvex ist. Diese Menge heißt das Innere der Kugel. Die Vereinigungsmenge einer Kugelfläche und ihres Inneren heißt Kugelkörper oder Vollkugel. Die Kugelfläche wird auch Kugeloberfläche oder Sphäre genannt.
Sowohl Kugelfläche als auch Kugelkörper werden oft kurz als Kugel bezeichnet, wobei aus dem Zusammenhang klar sein muss, welche der beiden Bedeutungen gemeint ist.
Eine Kugelfläche mit Mittelpunkt (, , ) und Radius ist die Menge aller Punkte (, , ), für die
erfüllt ist.
Kugelkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem
In Vektorschreibweise mit , oder
Die Punkte auf der Kugelfläche mit dem Radius und dem Zentrum im Ursprung können durch Kugelkoordinaten wie folgt parametrisiert werden:
Kugelschnitte[Bearbeiten]
Bringt man eine Ebene mit einer Kugel zum Schnitt, entsteht immer ein Kreis. Wenn die Ebene den Mittelpunkt der Kugel enthält, nennt man die Schnittlinie Großkreis, andernfalls Kleinkreis.
Die beiden dabei entstehenden Teilkörper heißen Kugelabschnitt oder Kugelsegment, im Falle des Großkreises Halbkugel (Hemisphäre).
Der gekrümmte Teil der Oberfläche eines Kugelsegments wird Kugelkappe, Kugelhaube oder Kugelkalotte genannt.
Ein Kugelsegment und der Kegel mit dem Schnittkreis als Basis und dem Kugelmittelpunkt als Spitze ergeben einen Kugelausschnitt oder Kugelsektor.
Zwei parallele, die Kugel schneidende (nicht berührende) Ebenen schneiden aus der Kugel eine Kugelschicht heraus. Den gekrümmten Teil der Oberfläche einer Kugelschicht bezeichnet man als Kugelzone.
Zwei sich schneidende Ebenen, deren Schnittgerade teilweise innerhalb der Kugel liegt, schneiden aus der Kugel ein Objekt, dessen gekrümmte Oberfläche das Kugelzweieck ist.
Eine Kugelschale (Hohlkugel) ist die Differenzmenge zweier konzentrischer Kugeln mit unterschiedlichem Radius.
Formeln[Bearbeiten]
Siehe auch: Formelsammlung Geometrie
Formeln zur Kugel
Geometrische Größe
Formel
Kugelradius
Kugeldurchmesser
Umfang (Großkreis)
Volumen
Oberfläche
Höhe (Kugelsegment/-kalotte, Kugelschicht,
nicht mit dem h in der Skizze unten identisch)
Volumen einer Kugelkalotte
Flächeninhalt einer Kugelkalotte
Mantelfläche einer Kugelschicht
Trägheitsmoment einer Hohlkugel (Drehachse durch Mittelpunkt)
Trägheitsmoment einer Vollkugel (Drehachse durch Mittelpunkt)
Volumen[Bearbeiten]
Das Kugelvolumen ist der Rauminhalt einer Kugel, der durch die Kugeloberfläche begrenzt wird.
Kegelherleitung (archimedische Herleitung)[Bearbeiten]
Herleitung des Kugelvolumens nach Cavalieri
Nach einer Überlegung des griechischen Mathematikers Archimedes gibt es zu einer Halbkugel mit Radius einen Vergleichskörper, dessen Volumen mit dem der Halbkugel übereinstimmt, aber einfach zu berechnen ist. Dieser Vergleichskörper entsteht dadurch, dass man aus einem Zylinder (genauer: einem geraden Kreiszylinder) mit Grundflächenradius und Höhe