nicht-bijektive Abbildung von Zufallsvariablen
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Integrationssatz mit 2 Diracs
Sinnfrei
Mitteilungen: 468
In dem folgenden Bild, kommt man auf eine Rechteckfunktion im Zeitbereich, wenn man zwei Diracs unterschiedlichen Vorzeichens integriert. https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-08-16_225239.png Irgendwie komme ich nicht darauf, wie man auf diese Rechteckfunktion gekommen ist. Der Ausschnitt wird in dem Video unter anderem auf folgender Adresse erklärt. Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation (Lernvideo) Quelle: LNTwww https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-08-16_232105.png Mit angepassten Integralgrenzen haben wir nicht viel gemacht, jedoch ist mir bereits aus der Faltung Dirac mit Sprungfunktion bekannt, dass sich die obere Grenze zu $t$ bilden lässt, wenn das Argument der Sprungfunktion größer $0$ ist - z.B. $\varepsilon(t - \tau)$ aus dem Faltungsintegral wird dann der $\varepsilon$-Term wegen $\tau < t$ zu 1 und die Grenzen des Faltungsintegrals werden zu $(-\infty, t)$.
Bozzo
Wohnort: Franken
Fall 1 ist OK, in Fall 2 sollte das zweite Integral nur bis (klein) t gehen. Ich wuerde das Integral aber nicht ausgerechnet bei -T aufspalten, da dann nicht so ganz klar ist, auf welcher Seite der Integrationsgrenze nun die Delta-Distribution steht. Was x6(-T) und x6(T) genau fuer Werte sind, ist auf diese Art nicht ganz eindeutig spezifiziert und Konventionssache (meist x6(-T) = x6(T) = A/2). Wirklich eindeutig berechnen laesst sich x6 nur fuer die 3 Faelle t < -T, -T < t < T und T < t. Im Fall 1 kannst du ein a > 0 mit t < -T-a finden, im Fall 2 ein a > 0 mit -T+a < t < T-a und im Fall 3 ein a > 0 mit T+a < t. Dann kannst du das Integral fuer Fall 2 bei -T-a und -T+a aufspalten und die jeweiligen Integrale einzeln berechnen. Fuer Fall 3 kannst du es zusaetlich noch bei T-a und T+a aufspalten. Vergiss dabei auch nicht, dass Integrale linear sind und dass das Integral einer Summe die Summe der Integrale ueber die Summanden ist (analog auch fuer Differenzen).
Ich habe jetzt mal ausprobiert. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-08-18_041711.png Weiss jetzt nicht, ob dass jetzt das war, was du meintest, da ich das mit eps und aufspalten nicht so ganz verstanden habe. Mir ist aber in den Sinn gekommen, dass man die Sprungfunktion ja als Integral über den Dirac aufschreiben kann. Da habe ich dann nur eine Regel angewendet. $t$ war wieder in dem Bereich zwischen $-T$ und $T$
Ja, so geht das auch. Das gilt sogar fuer alle t. Evtl. kannst du das Ergebnis aber auch fuer die drei Faelle separat jeweils noch weiter vereinfachen.
\quoteon(2022-08-18 07:28 - Bozzo in Beitrag No. 3) Ja, so geht das auch. Das gilt sogar fuer alle t. Evtl. kannst du das Ergebnis aber auch fuer die drei Faelle separat jeweils noch weiter vereinfachen. \quoteoff Was meinst du mit weiter vereinfachen?
Für alle t kann der 2. Fall ja nicht gelten, da die beiden Dirac-Impulse nur zwischen $-T$ und $T$ definiert sind. Im Hinweis oben gilt die obere Grenze von t ja auch nur im Intervall $t\geq 0$. Da dort das Integral ja auch $1$ wird, wenn man sich gedanklich vorstellt, dass die obere Grenze $\infty$ wäre, was durch die Bedingung des Falls ja sein kann.
Ich verstehe deine Aussage nicht ganz. Der Dirac-Impuls ist ueberall definiert. Da er aber fast ueberall 0 ist, kann man oft noch etwas vereinfachen. Du hattest ja schon ausgerechnet, dass x6(t) = 0 fuer t < -T ist. Das ist m. E. "einfacher" in dem Bereich als x6(t) = A [ε(t+T) - ε(t-T)] -- was allerdings auch richtig ist. Auch in den beiden anderen Bereichen gibt es eine "einfachere" Darstellung der Loesung.
\quoteon(2022-08-19 01:32 - Bozzo in Beitrag No. 6) Ich verstehe deine Aussage nicht ganz. Der Dirac-Impuls ist ueberall definiert. Da er aber fast ueberall 0 ist, kann man oft noch etwas vereinfachen. Du hattest ja schon ausgerechnet, dass x6(t) = 0 fuer t < -T ist. Das ist m. E. "einfacher" in dem Bereich als x6(t) = A [ε(t+T) - ε(t-T)] -- was allerdings auch richtig ist. Auch in den beiden anderen Bereichen gibt es eine "einfachere" Darstellung der Loesung. \quoteoff Hmm vielleicht könntest du mir das zeigen, da ich dir noch nicht folgen kann. Vielleicht muss man das einfach mal gesehen haben, da ich bisher mit angepassten Integralen nur sehr wenig gemacht habe.
Was ist denn x6(0)?
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-08-20_130952.png Ich sehe das so, dass wenn die unabhängige Variable $t = 0$ ist, ist somit die obere Grenze auch $=0$ zu setzen aber was das Integral ausgibt weiss ich nicht, da in dem Intervall zwischen $(-infty, 0)$ nur der linksseitige Dirac vorhanden ist aber das Integral nur $1$ wird, wenn die obere Grenze doch wie in rot markiert symmetrisch oder von $(-\infty, \infty)$ sein muss oder?
Beitrag No.10, eingetragen 2022-08-21
Ja, das stimmt. Fuer jede positive Zahl a > 0 ist \(\int_{-\infty}^{-a} \delta(x)\, \mathrm{d}x = \int_a^\infty \delta(x)\, \mathrm{d}x = 0\) und \(\int_{-a}^a \delta(x)\,\mathrm{d}x = 1\). Die Delta-Distribution hat nur einen Effekt um 0 herum, sonst ist sie quasi ueberall 0. Was sind x6(T/2) und x6(2T)? Kannst du nun einfachere Formeln fuer x6 in den drei Bereichen bis -T, zwischen -T und T und ab T angeben?
Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-21
\quoteon(2022-08-21 03:43 - Bozzo in Beitrag No. 10) Ja, das stimmt. Fuer jede positive Zahl a > 0 ist \(\int_{-\infty}^{-a} \delta(x)\, \mathrm{d}x = \int_a^\infty \delta(x)\, \mathrm{d}x = 0\) und \(\int_{-a}^a \delta(x)\,\mathrm{d}x = 1\). Die Delta-Distribution hat nur einen Effekt um 0 herum, sonst ist sie quasi ueberall 0. Was sind x6(T/2) und x6(2T)? Kannst du nun einfachere Formeln fuer x6 in den drei Bereichen bis -T, zwischen -T und T und ab T angeben? \quoteoff Ich komme auf folgendes Ergebnis https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Screenshot_2022-08-21_041351.png Der mittlere Teil bei $t=2T$ macht hier Probleme, da beide Integrale $1$ ergeben aber der zweite Dirac an Stelle $T$ hat ja ein negatives Vorzeichen. Dadurch heben sich die beiden 1'sen auf. Hmmm :\
Bei x6(T/2) hast du dich verrechnet. Bei t=2T ist es problematisch, das Integral ausgerechnet bei -T und +T aufzuspalten (siehe Beitrag No. 1). In Beitrag No. 1 habe ich "eps" für eine kleine positive Zahl geschrieben. Ab Beitrag No. 2 hast du "eps" für die Sprungfunktion geschrieben. Daher habe ich in Beitrag No. 10 "a" für eine kleine positive Zahl geschrieben. Ich habe daher den Beitrag No. 1 nochmal angepasst und dort auch "eps" durch "a" ersetzt, damit das zu keiner Verwirrung führt. Wenn du das Integral an -T-a und -T+a aufspaltest, statt an -T, hast du nicht das Problem, eine "halbe" Delta-Distribution integrieren zu müssen. Ebenso, wenn du an T-a und T+a statt an T aufspaltest.
\quoteon(2022-08-18 03:03 - Bozzo in Beitrag No. 1) Was x6(-T) und x6(T) genau fuer Werte sind, ist auf diese Art nicht ganz eindeutig spezifiziert und Konventionssache (meist x6(-T) = x6(T) = A/2). Wirklich eindeutig berechnen laesst sich x6 nur fuer die 3 Faelle t < -T, -T < t < T und T < t. Im Fall 1 kannst du ein a > 0 mit t < -T-a finden, im Fall 2 ein a > 0 mit -T+a < t < T-a und im Fall 3 ein a > 0 mit T+a < t. Dann kannst du das Integral fuer Fall 2 bei -T-a und -T+a aufspalten und die jeweiligen Integrale einzeln berechnen. Fuer Fall 3 kannst du es zusaetlich noch bei T-a und T+a aufspalten. Vergiss dabei auch nicht, dass Integrale linear sind und dass das Integral einer Summe die Summe der Integrale ueber die Summanden ist (analog auch fuer Differenzen). \quoteoff In dem Fall $$-T+a < t < T-a$$ sollte kein Dirac vorhanden sein. Wie kommst du darauf, dass man dort ein Integral mit den Grenzen $-T-a$ und $-T+a$ aufspalten kann und der 3. Fall macht für mich auch keinen Sinn. In dem Intervall $t > T$ sollte kein Dirac sein, dass man da irgendwie in $T-a$ und $T+a$ aufteilen könnte.
Erst wird der Integrationsbereich aufgeteilt. Das geht immer. Danach kann man gucken, was in den einzelnen Bereichen los ist. Im Fall 3 (T < t) kannst du das Integral bei -T-a, -T+a, T-a und T+a aufspalten, wobei 0 < a < t-T ist (z. B. koennte a = (t-T)/2 sein). Es ist dann \(\int_{-\infty}^t (\delta(\tau+T)-\delta(\tau-T))\,\mathrm{d}\tau = {}\) \(\qquad\int_{-\infty}^{-T-a} (\delta(\tau+T)-\delta(\tau-T))\,\mathrm{d}\tau + {}\) \(\qquad\int_{-T-a}^{-T+a} (\delta(\tau+T)-\delta(\tau-T))\,\mathrm{d}\tau + {}\) \(\qquad\int_{-T+a}^{T-a} (\delta(\tau+T)-\delta(\tau-T))\,\mathrm{d}\tau + {}\) \(\qquad\int_{T-a}^{T+a} (\delta(\tau+T)-\delta(\tau-T))\,\mathrm{d}\tau + {}\) \(\qquad\int_{T+a}^t (\delta(\tau+T)-\delta(\tau-T))\,\mathrm{d}\tau.\) Der mittlere Summand ist \(\int_{-T+a}^{T-a} (\delta(\tau+T)-\delta(\tau-T))\,\mathrm{d}\tau\) und ich glaube, du willst sagen, dass der Integrand im Integrationsbereich 0 ist. Daher kommt fuer den mittleren Summanden auch insgesamt 0 heraus. So weit, so gut. Was kommt bei den uebrigen vier Summanden heraus?
\quoteon(2022-08-22 13:53 - Bozzo in Beitrag No. 14) Erst wird der Integrationsbereich aufgeteilt. Das geht immer. Danach kann man gucken, was in den einzelnen Bereichen los ist. Im Fall 3 (T < t) kannst du das Integral bei -T-a, -T+a, T-a und T+a aufspalten, wobei 0 < a < t-T ist (z. B. koennte a = (t-T)/2 sein). Es ist dann \(\int_{-\infty}^t (\delta(t+T)-\delta(t-T))\,\mathrm{d}t = {}\) \(\qquad\int_{-\infty}^{-T-a} (\delta(t+T)-\delta(t-T))\,\mathrm{d}t + {}\) \(\qquad\int_{-T-a}^{-T+a} (\delta(t+T)-\delta(t-T))\,\mathrm{d}t + {}\) \(\qquad\int_{-T+a}^{T-a} (\delta(t+T)-\delta(t-T))\,\mathrm{d}t + {}\) \(\qquad\int_{T-a}^{T+a} (\delta(t+T)-\delta(t-T))\,\mathrm{d}t + {}\) \(\qquad\int_{T+a}^t (\delta(t+T)-\delta(t-T))\,\mathrm{d}t.\) Der mittlere Summand ist \(\int_{-T+a}^{T-a} (\delta(t+T)-\delta(t-T))\,\mathrm{d}t\) und ich glaube, du willst sagen, dass der Integrand im Integrationsbereich 0 ist. Daher kommt fuer den mittleren Summanden auch insgesamt 0 heraus. So weit, so gut. Was kommt bei den uebrigen vier Summanden heraus? \quoteoff Für den ersten Summand kommt $0$ heraus, da in dem Intervall keines der beiden Dirac-Impulse vorkommen. Beim zweiten Summanden kommt $1$ heraus, da der zweite Term im Integranden$(-\delta(t-T))$, aufgrund des Intervalls wegfällt. Im 3. Summanden kommt wieder $0$ heraus, da wie beim 1. Summanden die beiden Dirac-Impulse, in dem Intervall nicht vorkommen. Im 4. Summanden bleibt dann nur der negative Dirac, aufgrund des Intervalls, erhalten und das Ergebnis des Integrals ergibt $-1$. Der 5. und letzte Summand ergibt dann wieder $0$, da wie in Summand 1 und 3 die beiden Dirac's nicht vorkommen. Das Gesamtergebnis des Integrals für $x_6(t)$ ist dann $0$ Im 2. Fall bin ich jetzt wie folgt vorgegangen: $$x_6(t) = \underbrace{\int_{-\infty}^{-T-a}[\delta(\tau+T)-\delta(\tau-T)]d\tau}_{(1)} + \underbrace{\int_{-T-a}^{-T+a}[\delta(\tau+T)-\delta(\tau-T)]d\tau}_{(2)} + \underbrace{\int_{-T+a}^{T-a}[\delta(\tau+T) - \delta(\tau-T)]d\tau}_{(3)} + \underbrace{\int_{T-a}^{t}[\delta(\tau+T)-\delta(\tau-T)]d\tau}_{(4)}$$ $$(1)\qquad\int_{-\infty}^{-T-a}0d\tau = 0$$ $$(2)\qquad\int_{-T-a}^{-T+a}\delta(\tau+T) = 1$$ $$(3)\qquad\int_{-T+a}^{T-a}0d\tau = 0$$ $$(4)\qquad\int_{T-a}^{t}0d\tau = 0$$ Ich hätte demnach auch (4) auslassen können und Integral (3) wie folgt schreiben können oder? Da bin ich mir etwas unsicher, weil das $t$ ja zwischen $-T$ und $T$ liegt und so gesehen ja eigentlich $T-a$ ja auch noch in dem Bereich $-T
Du kannst a so wählen, dass t < T-a < T ist. Was wäre eine mögliche Wahl für a? Im Fall 3 hatte ich als mögliche Wahl a = (t-T)/2 angegeben. Was folgt dann für x6(t) wenn -T < t < T ist?
\quoteon(2022-08-22 20:50 - Bozzo in Beitrag No. 16) Du kannst a so wählen, dass t < T-a < T ist. Was wäre eine mögliche Wahl für a? Im Fall 3 hatte ich als mögliche Wahl a = (t-T)/2 angegeben. Was folgt dann für x6(t) wenn -T < t < T ist? \quoteoff Eine mögliche Wahl für $a$ wäre $$a = {-t+T\over 2}$$ Aber ich könnte auch sagen, dass $T-a < t < T$ ist oder habe ich dann wieder das Problem mit dem Dirac an der Stelle bei T? Hätte ich dann nicht einfach nur das 4. Integral aus Beitrag No. 15
Für Fall 2 reicht es, das Integral um den Dirac-Impuls bei t=T herum aufzuspalten (siehe auch Beitrag No. 1). Die Variable a ist dazu da, ein kleines Intervall um den Dirac-Impuls herum zu legen, in dem "sonst nichts" passiert, damit du darin den Dirac-Impuls "in Ruhe" behandeln kannst. Wenn du zu nahe an den Dirac-Impuls dran kommst, können ungünstige Sachen passieren. Z. B. ist \(\int_{-\infty}^\infty \delta(t)\,\mathrm{d}t = 1\), was aber ist \(\int_{-\infty}^0 \delta(t)\,\mathrm{d}t + \int_0^\infty \delta(t)\,\mathrm{d}t\)? Offenbar ist die Summe nur das aufgespaltene erste Integral und daher sollte auch 1 bei der Summe herauskommen. Aber das erste Integral geht nur bis zum Dirac-Impuls und nicht drüber und sollte daher 0 sein. Genauso geht aber auch das zweite Integral nur bis zum Dirac-Impuls und nicht drüber, daher sollte es auch 0 sein. Dann kommt aber insgesamt 0 heraus und nicht 1, das passt also nicht. Wenn du andererseits sagst, dass der Dirac-Impuls im Intervall von -∞ bis 0 schon enthalten ist, kommt 1 beim ersten Integral heraus, aber dann sollte auch 1 beim zweiten Integral herauskommen was für die Summe insgesamt 2 ergibt und auch nicht passt. Da aus Symmetriegründen (Substitution mit u = -t) \(\int_{-\infty}^\infty \delta(t)\,\mathrm{d}t = \int_0^\infty \delta(t)\,\mathrm{d}t\) sein sollte und die Summe beider Terme 1 ergibt, müsste jeder Term 1/2 ergeben. D. h. das Integral über einen "halben" Dirac-Impuls wäre dann 1/2 und das ist auch der Grund, warum oft \(\varepsilon(0) = 1/2\) gesetzt wird. Damit kommt man gewissermaßen noch am weitesten, aber es ist nicht von vorne herein klar und mehr Konventionssache und auch nicht mit der Mengenschreibweise von Integralen kompatibel, denn in denen ist klar, dass \(\int_{[0,\infty)} \delta(t)\,\mathrm{d}t = 1\) und \(\int_{(0,\infty)} \delta(t)\,\mathrm{d}t = 0\) ist und in dieser Form gibt es keine Menge \(A\), die 0 nur "zur Hälfte" enthält und für die \(\int_A \delta(t)\,\mathrm{d}t = 1/2\) wäre. Aus dem Grund ist mein Vorschlag, lieber den Dirac-Impuls mit einem kleinen Intervall der Breite a nach jeweils links und rechts "auszuschneiden" und separat zu behandeln. Auch wenn nicht unbedingt notwendig, kannst du dir durch das Aufspalten um den zweiten Dirac-Impuls herum klar machen, dass dieser das Ergebnis wirklich nicht beeinflusst. Das funktioniert allerdings nur, wenn t < T-a < T ist, da du sonst den Dirac-Impuls nicht in sein eigenes offenes Intervall gepackt hättest, in dem du ihn behandeln kannst, ohne dass das t "stört".
\quoteon(2022-08-23 22:06 - Bozzo in Beitrag No. 18) Für Fall 2 reicht es, das Integral um den Dirac-Impuls bei t=T herum aufzuspalten (siehe auch Beitrag No. 1). Die Variable a ist dazu da, ein kleines Intervall um den Dirac-Impuls herum zu legen, in dem "sonst nichts" passiert, damit du darin den Dirac-Impuls "in Ruhe" behandeln kannst. Wenn du zu nahe an den Dirac-Impuls dran kommst, können ungünstige Sachen passieren. Z. B. ist \(\int_{-\infty}^\infty \delta(t)\,\mathrm{d}t = 1\), was aber ist \(\int_{-\infty}^0 \delta(t)\,\mathrm{d}t + \int_0^\infty \delta(t)\,\mathrm{d}t\)? Offenbar ist die Summe nur das aufgespaltene erste Integral und daher sollte auch 1 bei der Summe herauskommen. Aber das erste Integral geht nur bis zum Dirac-Impuls und nicht drüber und sollte daher 0 sein. Genauso geht aber auch das zweite Integral nur bis zum Dirac-Impuls und nicht drüber, daher sollte es auch 0 sein. Dann kommt aber insgesamt 0 heraus und nicht 1, das passt also nicht. Wenn du andererseits sagst, dass der Dirac-Impuls im Intervall von -∞ bis 0 schon enthalten ist, kommt 1 beim ersten Integral heraus, aber dann sollte auch 1 beim zweiten Integral herauskommen was für die Summe insgesamt 2 ergibt und auch nicht passt. Da aus Symmetriegründen (Substitution mit u = -t) \(\int_{-\infty}^\infty \delta(t)\,\mathrm{d}t = \int_0^\infty \delta(t)\,\mathrm{d}t\) sein sollte und die Summe beider Terme 1 ergibt, müsste jeder Term 1/2 ergeben. D. h. das Integral über einen "halben" Dirac-Impuls wäre dann 1/2 und das ist auch der Grund, warum oft \(\varepsilon(0) = 1/2\) gesetzt wird. Damit kommt man gewissermaßen noch am weitesten, aber es ist nicht von vorne herein klar und mehr Konventionssache und auch nicht mit der Mengenschreibweise von Integralen kompatibel, denn in denen ist klar, dass \(\int_{[0,\infty)} \delta(t)\,\mathrm{d}t = 1\) und \(\int_{(0,\infty)} \delta(t)\,\mathrm{d}t = 0\) ist und in dieser Form gibt es keine Menge \(A\), die 0 nur "zur Hälfte" enthält und für die \(\int_A \delta(t)\,\mathrm{d}t = 1/2\) wäre. \quoteoff Daran dachte ich auch, das man sonst zu nah an dem Dirac-Impuls wäre. Daher auch das mit $a$ damit man so gesehen eine Symmetrie um den Dirac herum erzeugt. Rein theoretisch würde es schon mit der Fallbedingung klappen nur weiss man dann wieder nicht, was das Integral ausgibt. Zu dem Punkt mit der Symmetrie für die Sprungfunktion an der Stelle $t = 0$. Müsste es hier nicht wie folgt sein? $$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t)dt = 2\int_{0}^{\infty}\delta(t)dt = 2\cdot {1\over 2} = 1$$ Also wenn man davon ausgeht, dass man einen halben Dirac integriert.
Da fehlen zwar noch ein Paar Zwischenschritte, aber im Prinzip ja. Kannst du jetzt die Ergebnisse von x6(t) für die drei Fälle t < -T, -T < t < T und T < t angeben?
Für Fall 1 $(t < -T)$ gilt dann zunächst $(t < -T-a < -T)$: $$x_6(t) = \int_{-\infty}^{t}\delta(\tau+T)d\tau = 0$$ Anschließend kommt der Fall 2 $(-T< t < T-a)$: $$x_6(t) = \int_{-T-a}^{-T+a}\delta(\tau+T)d\tau = 1$$ und zum Schluss noch Fall 3 $(t > T)$ mit $(t > T+a > T)$: $$x_6 = \int_{-\infty}^{t}\delta(\tau + T) = 1 - 1 = 0$$ Ich habe alle Integrale vereinfacht, da es durch die Bedingungen dann klar war, welches der Integrale bleibt. Im Fall 2 fallen die Terme $$\int_{-\infty}^{-T-a}\delta(\tau+T)d\tau$$ und $$\int_{-T+a}^{T-a}0d\tau$$ weg. Daher habe ich diese erst gar nicht mehr aufgeschrieben Im Fall 3 fallen so gesehen alle Terme weg und die zwei Terme, wo die Dirac's stehen aufgrund $\pm 1$ weg. Diese beiden Terme habe ich dann nur noch als $1-1$ hingeschrieben. War das mit vereinfachen deinerseits gemeint oder meintest du was anderes? Wenn ja, dann war das ein fundamentales Problem gewesen und bedanke mich an dieser Stelle für deine Hilfe Bozzo, dass du dir die Zeit genommen hast und mir das auch wie in Beitrag No. 18 ausführlich erklärt hast. So konnte ich mir ein umfangreiches Bild davon machen, wie man auch zur Sprungfunktion mittels Dirac gelangt. In der Literatur wird da meist nicht so sehr wert auf die genaue Mathematik gelegt, so dass dies meist übersprungen wird.
Ja, das habe ich mit "Vereinfachen" gemeint. Allerdings ist bei dir das A verlorengegangen. Ausserdem hast du Fall 3 nicht richtig aufgeschrieben. Abgesehen davon, dass das dτ im Integral fehlt, fehlt auch noch die zweite Delta-Distribution, die den -1 Term liefert. Schau dir im Bild im Themenstart links die beiden Boxen mit x5 und x6 direkt untereinander nochmal genau an. In x6 kommt genau die Funktion heraus, die wir uns jetzt hier gerade genauer angeschaut haben. An ihr siehst du auch, dass sie ausserhalb von -T und T verschwindet und innerhalb konstant ist. x6 ist das Integral von x5 und umgekehrt x5 die Ableitung von x6. Die Ableitung von x6 ist offenbar ueberall 0 (keine Steigung), ausser an -T und T, wo die Steigung "unendlich" waere, was klassischerweis nicht geht. Der Dirac-Impuls ist gewissermassen ein "Trick", das doch moeglich zu machen. An -T hat x5 einen positiven Dirac-Impuls, der x6 an dieser Stelle eine "Stufe" nach oben "springen" laesst. An T ist der Dirac-Impuls negativ um x6 eine "Stufe" nach unten "springen" zu lassen. "Wie viel" der Dirac-Impuls in x5 die Funktion in x6 "springen" laesst, haengt von dessen "Hoehe" a und "Breite" b ab. \(a\,\delta(t/b)\) laesst das integral um \(ab\) "springen". Genauer ist \(\int_{-\infty}^t a\,\delta(\tau/b)\,\mathrm{d}\tau = ab\,\varepsilon(t/b)\) mit der Sprungfunktion \(\varepsilon\). Hier ist \(b=1\). Die Funktion x6 kannst du als Differenz von zwei Sprungfunktionen angeben (das war dein erstes Ergebnis), als stueckweise konstante Funktion (das ist die "Vereinfachung") oder auch als eine Rechteckfunktion (wenn du magst, kannst du das noch machen -- einfach durch ablesen aus dem Bild im Themenstart ohne zu rechnen). Welchen Wert x6 an den Stellen -T und T hat (oder die Sprungfunktion in 0, oder die Rechteckfunktion an den Flanken), ist nicht von vornherein klar und Konventionssache. Ich meine, die haefigste Wahl waere der halbe Wert. Hier solltest du aber klaeren, welcher Konvention ihr folgt oder die Werte als "unbestimmt" betrachten. In Rechnungen wuerde ich den Dirac-Impuls immer so "ausschneiden", wie du das hier gemacht hast (esseiden, du weisst genau, was du tust).
1. Fall $t<-T$ mit $(t < -T-a < -T)$: $$x_6(t) = A\int_{-\infty}^{t}\delta(\tau+T)d\tau = 0$$ 2. Fall $-T< t < T-a)$: $$x_6(t) = A\left[\int_{-\infty}^{-T-a}0d\tau + \int_{-T-a}^{-T+a}\delta(\tau + T)d\tau+\int_{-\infty}^{t}0d\tau\right] = A$$ 3. Fall $t>T$ mit (t > T+a > T): $$x_6(t) = A\left[\int_{-\infty}^{-T-a}0d\tau + \int_{-T-a}^{-T+a}\delta(\tau+T)d\tau + \int_{-T+a}^{T-a}0d\tau - \int_{T-a}^{T+a}\delta(\tau - T)d\tau + \int_{T+a}^{t}0d\tau\right]$$ $$x_6(t) = A-A = 0$$ So sollte das jetzt stimmen. Ich hatte \quoteon (2022-08-25 04:14 - Bozzo inBeitrag No. 22) Die Funktion x6 kannst du als Differenz von zwei Sprungfunktionen angeben (das war dein erstes Ergebnis), als stueckweise konstante Funktion (das ist die "Vereinfachung") oder auch als eine Rechteckfunktion (wenn du magst, kannst du das noch machen -- einfach durch ablesen aus dem Bild im Themenstart ohne zu rechnen) \quoteoff Das mit dem Rechteck würde ich mir dann aus der Sprungfunktion ableiten. Das ab $t=-T$ das Rechteck seine linke Kante hat, sprich dort wo die Sprungfunktion seinen Sprung hat und bei $t = T$ dann seine rechte Kante des Rechtecks hat, weil die Sprungfunktion bei $t = T$ an der Abszisse gespiegelt ist und sich somit beide Sprungfunktionen zu $0$ ergeben. Wenn ich jetzt aber zwei Dirac's, an den selben Stellen, hätte, die beide positiv sind, steigt somit die Sprungfunktion bei $t = T$, um den Wert $2$ an und man hätte so gesehen eine Treppe geschaffen. Das wird später, bei Quantisierungsstufen innerhalb der Codierung noch eine Rolle spielen. \quoteon (2022-08-25 04:14 - Bozzo in Beitrag No. 22) x6 ist das Integral von x5 und umgekehrt x5 die Ableitung von x6. Die Ableitung von x6 ist offenbar ueberall 0 (keine Steigung), ausser an -T und T, wo die Steigung "unendlich" waere, was klassischerweis nicht geht. Der Dirac-Impuls ist gewissermassen ein "Trick", das doch moeglich zu machen. An -T hat x5 einen positiven Dirac-Impuls, der x6 an dieser Stelle eine "Stufe" nach oben "springen" laesst. An T ist der Dirac-Impuls negativ um x6 eine "Stufe" nach unten "springen" zu lassen. \quoteoff Bei der Ableitung $x_6(t)$ nach $x_5(t)$ kann ich mir das dann wieder als 2 Sprünge am besten vorstellen. Bei der einen Sprungfunktion, die bei $t=-T$ liegt und positiv ist, ist die Ableitung überall $0$ ausser bei der Stelle $t=-T$. Daher würde dort wieder der positive Dirac herauskommen. Bei $t=T$ das selbe Spiel, mit der negativen bei $t=T$ gespielten Sprungfunktion. Wenn ich alle Intervalle ausser den bei $t=T$, für die Ableitung betrachte erhalte ich hier wieder $0$ und bei $t=T$ würde ich dann einen negativen Dirac erhalten.
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