Beschränktheit
Eine beschränkte Menge mit oberen und unteren Schranken.
Eine nach oben beschränkte Menge mit Supremum.
Die Eigenschaft der Beschränktheit wird in verschiedenen Bereichen der Mathematik einer Menge zugeordnet. Die Menge wird dann als (nach unten oder oben) beschränkte Menge bezeichnet. Damit ist zunächst gemeint, dass alle Elemente der Menge bezüglich einer Ordnungsrelation nicht unterhalb bzw. nicht oberhalb einer bestimmten Schranke liegen. Genauer spricht man dann davon, dass die Menge bezüglich der Relation (nach unten oder oben) beschränkt ist. Die Begriffe obere und untere Schranke werden im Artikel Supremum ausführlich beschrieben.
Viel häufiger wird der Begriff in einem übertragenen Sinn gebraucht. Dann heißt eine Menge (nach oben) beschränkt, wenn eine Abstandsfunktion zwischen ihren Elementen, die als Wertevorrat meist die nichtnegativen reellen Zahlen hat, nur Werte nicht oberhalb einer bestimmten reellen Zahl annimmt. Hier versteht sich die Beschränktheit nach unten (nämlich durch 0) meist von selbst, daher wird hier einfach nur von einer beschränkten Menge gesprochen. Genauer müsste man sagen: Die Menge ist bezüglich der Abstandsfunktion (und der natürlichen Anordnung von deren Wertevorrat) beschränkt.
Daneben gibt es den Begriff einer (nach oben oder unten) beschränkten Funktion. Darunter ist eine Funktion zu verstehen, deren Bildmenge (als Teilmenge einer halbgeordneten Menge) die entsprechende Eigenschaft hat oder im übertragenen Sinn: Die Menge der Bilder der Funktion hat bezüglich einer Abstandsfunktion die entsprechende Beschränktheitseigenschaft.
1.1 Beschränktheit bezüglich einer Ordnungsrelation
1.2 Übertragung auf Mengen, auf denen eine Abstandsfunktion definiert ist
1.3 Übertragung auf Funktionen, auf deren Wertevorrat eine Abstandsfunktion definiert ist
2 Analysis
3 Metrische Räume
4 Funktionalanalysis
4.1 Beschränkte Mengen in topologischen Vektorräumen
4.2 Beispiele beschränkter Mengen
4.3 Permanenzeigenschaften
4.4 Beschränkte Abbildungen
5 Beschränkte Funktionen und gleichmäßige Beschränktheit
5.1 Gleichmäßige Beschränktheit
5.2 Punktweise Beschränktheit
5.3 Beispiele
Beschränktheit bezüglich einer Ordnungsrelation[Bearbeiten]
Sei eine durch die Relation halbgeordnete Menge und eine Teilmenge von .
Ein Element heißt obere Schranke von , wenn gilt: . Das bedeutet: Alle Elemente von sind kleiner oder gleich der oberen Schranke . Falls eine solche obere